Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 <p>В обычной жизни мы иногда спорим: высказываем свою позицию и приводим аргументы, чтобы подкрепить ее. В математической логике работает похожий принцип. В логике есть<strong>аргументы</strong>- это последовательности или списки утверждений, которые возвращают заключение. Если объяснять проще, то аргумент - это допущение, которые мы делаем, чтобы проверить высказывание. Например:</p>

2 <ul><li><strong>Аргумент</strong>: Допустим, что x = 2</li>

3 <li><strong>Какое утверждение мы проверяем</strong>: x + x = 4</li>

4 <li><strong>Какое заключение мы делаем</strong>: утверждение истинно</li>

5 </ul><p>При этом важно, чтобы аргумент был действительным. Это значит, что он должен относиться к заключению, которое следует истинности всех остальных утверждений в рамках дискуссии.</p>

6 <p>Чтобы глубже разобраться в аргументах, мы изучим, как работают доказательства и правила вывода. Они помогают отследить логику высказываний и точно определить, истинны они или ложны.</p>

7 <h2>Зачем нужны доказательства в математике?</h2>

8 <p>Доказательство - это аргумент, который ведет нас от гипотез и предположений к заключениям.</p>

9 <p>При этом каждый шаг аргумента следует законам логики. В математике утверждение не принимается как действительное или правильное, если оно не сопровождается доказательством. В математике все всегда нужно доказывать - это одна из тех вещей, которые отличают ее от других предметов.</p>

10 <p>Доказывать сложно, потому что не существует процедур, которые гарантировали бы успех. Доказательства строятся по сложным схемам, и этих схем очень много.</p>

11 <p>Разбираться в этой теме мы начнем с<strong>логических доказательств</strong>. Они пишутся в столбик и отличаются более высокой степенью детализации - поэтому с них удобно начинать. В логических доказательствах каждый шаг обосновывается правилом вывода, при этом большинство правил вывода основаны на уже знакомых нам тавтологиях.</p>

12 <p>Как и большинство доказательств, логические доказательства состоят из:</p>

13 <ul><li>Предпосылок - утверждений, которые можно предположить.</li>

14 <li>Заключения - утверждения, которое нужно доказать.</li>

15 </ul><p>Чтобы доказать заключение, нужно оперировать предпосылками и использовать правила вывода до тех пор, пока мы не придем к финальному выводу.</p>

16 <h2>Как составлять доказательства</h2>

17 <p>Чтобы правильно составить доказательство, нужно соблюсти два правила:</p>

18 <ol><li><strong>Правило предпосылок</strong>. Предпосылку можно записать в любой момент доказательства.</li>

19 <li><strong>Modus Ponens</strong>. P и Q можно заменить любыми утверждениями, в том числе составными.</li>

20 </ol><p>Вот простое доказательство с использованием<em>modus ponens</em>:</p>

21 <p>Логические доказательства записываются в три колонки. Утверждения в них нумеруются, чтобы вы могли ссылаться на них. Номера идут в первой колонке, сами утверждения - во второй, обоснования - в третьей.</p>

22 <p>Такая стандартная запись помогает выражать свои мысли грамотно на языке математики. Так и вам будет проще разобраться в доказательствах других людей, и другие смогут понять вашу мысль.</p>

23 <p>Стандартизация есть не только в записи, но и в правилах вывода. Изучим их подробнее.</p>

24 <h3>Правила вывода</h3>

25 <p>Первое правило связано с порядком квантификаторов. Оно сформулировано так:</p>

26 <p>Порядок вложенных экзистенциальных или универсальных квантификаторов может быть изменен без изменения смысла высказывания</p>

27 <p>Мы уже знаем, что квантификаторы помогают определить диапазон значений переменных, для которых предикат считается истинным.</p>

28 <p>Например, в высказывании a-b < 37 предикат P - это разность меньше 37.</p>

29 <p>То же высказывание можно представить в виде P(a, b), где a и b - переменные.</p>

30 <p>Остальные правила вывода обознаются так:</p>

31 <h4>Modus Ponens (Правило вывода)</h4>

32 <h4>Modus Tollens (Рассуждение от противного)</h4>

33 <h4>Hypothetical Syllogism (Силлогизм с условным утверждением)</h4>

34 <h4>Disjunctive Syllogism (Путь исключения исключением)</h4>

35 <h4>Addition (Дополнение)</h4>

36 <p>q → q ∨ r</p>

37 <h4>Simplification (Упрощение)</h4>

38 <p>(p ∧ q) → p</p>

39 <h4>Discrete Math Resolution (Правило дискретной математики)</h4>

40 <h3>Как проверять аргументы</h3>

41 <p>В начале урока мы говорили, что аргументы должны быть действительными. Остановимся на этой теме подробнее и научимся определять действительные и недействительные аргументы.</p>

42 <p>Возьмем такой пример:</p>

43 <ol><li>Если на дороге будет пробка, Вася опоздает на работу +</li>

44 <li>Вася не опоздал на работу +</li>

45 <li>Следовательно, пробки на дороге не было +</li>

46 </ol><p>Сначала мы переведем аргумент в математическую форму:</p>

47 <p>Теперь проверяем аргумент по правилам вывода. Как видим, аргумент соответствует правилу Modus Tollens, которое мы рассматривали выше. Значит, мы можем с уверенностью утверждать, что заключение верно.</p>

48 <p>Перевод аргументов в символы - это отличный способ расшифровать, есть ли у нас действующее правило вывода или нет.</p>

49 <h3>Как работают доказательства с квантификаторами</h3>

50 <p>Выше мы разбирали правила вывода на довольно простых примерах. Поднимемся на следующий уровень сложности и попробуем применить эти же правила к универсальным и экзистенциальным квантификаторам.</p>

51 <ul><li>Универсальная квантификация (все, любой, каждый)</li>

52 <li>Экзистенциальная квантификация (существует, некоторый, по крайней мере, один)</li>

53 </ul><p>Правила вывода становятся невероятно полезными, когда применяются к квантифицированным утверждениям. Именно таким образом мы можем доказывать более сложные аргументы.</p>

54 <p>Обратите внимание, что при работе с универсальным и экзистенциальным обобщением можно вывести недействительные утверждения из истинных. Поэтому мы должны быть внимательны к тому, как формулируем рассуждения.</p>

55 <p>Рассмотрим правила логики для квантифицированных высказываний на таком примере:</p>

56 <p>Высказывание: _Ваша киска купила бы Whiskas</p>

57 <ol><li>Все кошки любят Whiska</li>

58 <li>Некоторые кошки серого цвет</li>

59 <li>Некоторые серые существа любят Whiskas</li>

60 </ol><p>Нам даны предпосылки, по которым мы делаем вывод "Некоторые серые существа любят Whiskas". Этот вывод истинный или ложный? Чтобы это проверить, переведем высказывание на язык математики:</p>

61 <h3>Выводы</h3>

62 <p>В этом уроке мы изучили правила, которые помогают проверять действительность аргументов:</p>

63 <ol><li><strong>Правило предпосылок</strong>. Предпосылку можно записать в любой момент доказательства</li>

64 <li><strong>Modus Ponens</strong>. P и Q можно заменить любыми утверждениями, в том числе составными</li>

65 </ol><p>Чтобы доказать заключение, нужно оперировать предпосылками и использовать описанные выше правила вывода до тех пор, пока мы не придем к финальному выводу.</p>

66 <p>Язык математики изучать очень сложно. Он очень абстрактный и непохожий на другие языки, на которых мы привыкли общаться. Но в одном математический язык точно похож на естественные - его нельзя выучить без регулярной практики.</p>

67 <p>Чем больше вы будете использовать язык математики, тем быстрее вы освоите его. Тогда математика станет для вас удобным инструментом, который помогает рассуждать, оценивать высказывания и делать выводы.</p>