Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 В этом курсе мы уже обсуждали, что компьютерные программы связаны с математическими функциями. У программ есть:

2 <ul><li>Вход- любая строка символов, которую ввели в программу</li>

3 <li>Выход- любая строка символов, которую вывела программа после выполнения</li>

4 <li>Функция- операция, которая превращает строку со входа в строку на выходе</li>

5 </ul>При определенных условиях программы попадают в бесконечные циклы. Из-за этого они не дают никакого результата. Программа не может вычислить функцию от входных данных, потому что на каждый входной сигнал ей нужен ровно один выходной сигнал.

6 В таких случаях вычисляетсячастичная функция, которую мы и рассмотрим в этом уроке.

7 <h2>Зачем нужны частичные функции</h2>

8 Для начала вспомним, что числа бывают разных видов, в том числе:

9 <ul><li>Вещественные - это любые числа, включая десятичные и дробные (например, 1, 1.1 и 1.2)</li>

10 <li>Натуральные - это только целые числа (например, 1, 2 и 3)</li>

11 </ul>А теперь возьмем функцию f(x) = x/3 и определим ее для разных видов чисел.

12 В первом случае все сработает хорошо:

13 <ul><li>Мы заранее ограничим область функции вещественными числами</li>

14 <li>Потом возьмем на вход вещественные числа</li>

15 <li>Применим функцию f(x) = x/3</li>

16 </ul>На выходе получим тоже вещественные числа:

17 <ul><li>Если x=1, то f(x) = 1/3 = 0.33</li>

18 <li>Если x=1.1, то f(x) = 1.1/3 = 0.36</li>

19 <li>Если x=1.2, то f(x) = 1.2/3 = 0.4</li>

20 </ul>Здесь функция сработает во всех случаях, так что ее можно считатьполностью определенной функцией.

21 Во втором случае все сработает не так гладко:

22 <ul><li>Мы заранее ограничим область функции натуральными числами</li>

23 <li>Потом возьмем на вход натуральные числа</li>

24 <li>Применим функцию f(x) = x/3</li>

25 </ul>На выходе мы получим такой результат:

26 <ul><li>Если x=1, то f(x) = 1/3=0.33</li>

27 <li>Если x=2, то f(x) = 2/3 =0.66</li>

28 <li>Если x=3, то f(x) = 3/3=1</li>

29 </ul>Сложность в том, что для x=1 и x=2 выходом функции будет дробное число, а не натуральное. Изначально мы ограничили функцию только натуральными числами, но на выходе получили дробные.

30 Значит, функция сработает не во всех случаях, поэтому ее называютчастично определенной функцией.

31 Другими словами, эточастичная функция- то есть функция, которая работает только частично. Она обозначается так:

32 f:A → B

33 Такие сложности с входными данными могут встретиться в программировании. Если в этом случае опираться только на полностью определенные функции, то программа может работать со сбоями и уходить в бесконечные циклы.

34 <h2>Как обозначаются частичные функции</h2>

35 Теперь разберем другой пример частичной функции.

36 Предположим, что мы изучаем таблицу с почтовыми расходами. В ней обозначено, сколько стоит пересылка посылок разного веса:

37 В этой таблице обозначены диапазоны. Например, за три доллара можно отправить груз, который весит более 1 кг, но меньше или равно 5 кг.

38 Обратите внимание, что в таблице не указана стоимость пересылки грузов более 15 кг. Если бы мы использовали функцию, она была бы частичной, потому что в таблице дана не вся информация.

39 Можно дополнить таблицу и расширить правило - например, указать, что посылки весом более 15 кг стоят $9. Тогда функция будет полной.

40 Такие примеры помогают понять, как частичные функции применяются на практике. Они помогаютизучать вычислимость- выяснять, какие функции можно вычислить с помощью программ.

41 <h2>Формальное определение частичной функции</h2>

42 Теперь посмотрим на частичные функции с точки зрения математики. Ее формальное определение можно сформулировать так:

43 Частичная функция F с областью определения X и кодоменом Y - это подмножество X * Y. При этом для каждого x ∈ X существует одно самое большое y с (x, y) ∈ F.

44 Такая функция называется "частичной функцией F из X в Y" и обозначается так:

45 F : X → Y

46 Областью частичной функции F : X → Y является множество:

47 {x ∈ X: для некоторого y ∈ Y, (x, y) ∈ F}

48 Когда F называют частичной функцией, подразумевается, что в ее области определения существует какой-либо x, при котором F(x) не определена. При этом он не обязательно существует.

49 <h2>Примеры частичных функций</h2>

50 Чтобы закрепить знания о частичных функциях, разберем несколько примеров.

51 <h3>Пример 1</h3>

52 Вычитание на N - это частичная функция:

53 <ul><li>Ее область определения - N 2</li>

54 <li>Ее кодомен - N</li>

55 </ul>Для i > j, i - j не определено на N, поэтому область вычитания можно обозначить так:

56 {(i, j) ∈ N^2 : i > j}

57 Диапазон (-) равен N. Чтобы показать, что произвольное n ∈ N находится в диапазоне (-), заметим, что n = n -0.

58 <h3>Пример 2</h3>

59 Деление на R - это частичная функция. Ее область определения - R^2, ее кодомен - R, но ее область - это:

60 {(x, y) ∈ R^2 : y A 0}

61 Ее диапазон - R.

62 <h3>Пример 3</h3>

63 Для x ∈ R пусть sqrt(x) - неотрицательный квадратный корень из x. Тогда это частичная функция, так как sqrt(x) не определена для x > 0. Область определения - R, а ее кодомен - R. Диапазон - [0, oo].

64 Пусть G - подмножество R. G - это график частичной функции, если каждый раз при x0 ∈ X вертикальная прямая x = xo пересекает G не более чем в одной точке. Это называетсятестом на вертикальную линию для частичной функции.

65 На рисунке показано подмножество R x R, которое не является функцией, так как вертикальная линия x = -1 не пересекает график. Это частичная функцией, так как ни одна вертикальная линия, которая определяется элементом ее области, не пересекает график более одного раза:

66 <h2>Выводы</h2>

67 В этом уроке мы изучили частичные функции - это такие функции, которые срабатывают только частично. Также их называют частично определенными функциями, потому что не все выходные значения будут попадать в заранее определенную область функции.